雷诺输运方程

在这里不做推导,只讨论结果的意义。

//当对一个领域理解的足够透彻,应该是先有结果再有推导论证过程。

拉格朗日方法与欧拉方法:

拉格朗日方法是一种随体描述,也就是以运动的对象作为参考系。

欧拉方法是一种空间描述,空间坐标系固定,空间内对象运动。

雷诺运输输运公式

雷诺输运公式是想在欧拉方法下描述运动流体体系的某强度量的时间变化速率。(?)

\Omega(t)为研究的流体体系的占据空间区域;

S(t)为改空间区域的包围曲面;

\mathcal{F}(x,y,z,t)为流体某物理强度量,强度量意味着其可叠加性。

I(t)=\iiint\limits_{\Omega(t)}{\mathcal{F}(x,y,z,t)dV}为该体系的\mathcal{F}的体积分,例如,若\mathcal{F}为流体密度\rho,则I为流体体系的总质量。

雷诺输运公式:

 \displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint\limits_{\Omega(t)}\mathcal{F}(x,y,z,t)\mathrm{d}V & =\iiint\limits_{\Omega(t)}\lbrack\frac{\mathrm{d}\mathcal{F}}{\mathrm{d} t}+\mathcal{F}(\bm{\nabla\cdot v})\rbrack\mathrm{d}V}

随体导数:

先说一个重要的东西,随体导数: \displaystyle{\frac{\mathrm{d}\mathcal{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t}+\bm{v\cdot\nabla}\mathcal{F}}

当地导数\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t}表示该强度标量场对时间的偏微分,也就是固定点该强度随时间的变化。但是很明显其作为我们“随体”的要求还不够,因为是运动的流体,我们还要考虑运动带来的变化:当\mathcal{F}空间不均匀时,运动会使“包围圈”\Omega(t)内的该量发生变化,因此需要对流导数(位变导数)项\bm{v\cdot\nabla}\mathcal{F},相当于拿着个包围圈在不均匀的分布场内套流体,不均匀性和运动速度会使包围圈内该强度值的时间变化率产生变化。

例如,考虑简化一维情况,把三亚、广州、北京放到一条线上,PM2.5值从三亚->广州->北京线性增加,而你只是个收集空气的容器。你从广州跑到北京,你体内的霾空气肯定增多了,你跑的速度越快,你体内disgusting气体也增加地越快,这是位变导数项。当地导数更好理解,就是整个空气质量的变化,你体内气体的PM2.5值也会随着变化。

随体导数可以说是非常的“拉格朗日”了,但既然我们想用欧拉方法表达,这中间一定还差东西。

速度场不均匀产生的项

公式还有一项:\mathcal{F}(\bm{\nabla\cdot v})暂时没有看到这一项有什么好的名字…我读的书少,有知道的大神请告知一下。我猜可能叫形变项?随体导数很明显只管它自己运动时自己的变化,但是作为欧拉参考系的旁观者,作为外界的观察者,既然用欧拉方法表达某个流体体系某个强度量的时间变化率,只听姓“拉格朗日”的随体导数很明显是不够的。当速度场分布不均匀时,作为外界的观测者,我们很明显能观测到一个现象——那就是流体团的形状在变化(也就是包围网的形状在变)。如果速度场是恒定的,流体的形状不会发生变化,当速度场分布不均匀,例如体系里有些地方跑得快有些地方跑得慢,那我们研究的“包围圈”的形状自然发生变化。

还举那个雾霾的例子:你正在从广州匀速飞(头朝北)向北京,你的头突然跑得比脚快(即\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial x}>0}),你发现你被拉长了,你的容量变大了,显然你体内的某某值也会增加。

通量形式

什么导数什么项的其实很繁琐,我们把随体导数公式带进去,可以把方程写成通量的形式:

 \displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint\limits_{\Omega(t)}\mathcal{F}(x,y,z,t)\mathrm{d}V & =\displaystyle{\iiint\limits_{\Omega(t)}\lbrack\frac{\mathrm{\partial}\mathcal{F}}{\mathrm{\partial} t}+\bm{\nabla\cdot}(\mathcal{F}\bm{v}})\rbrack\mathrm{d}V}}

当通量\mathcal{F}\bm{v}}在区域内(包括边界)连续可微,根据高斯公式(下次再讨论)可得:

 \displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint\limits_{\Omega(t)}\mathcal{F}(x,y,z,t)\mathrm{d}V & =\displaystyle{\iiint\limits_{\Omega(t)}\frac{\mathrm{\partial}\mathcal{F}}{\mathrm{\partial} t}\mathrm{d}V+\oiint\limits_{S(t)}\mathcal{F}\bm{v\cdot n}\mathrm{d}S}

通量的散度或者单位时间内通过边界S(t)流入的总通量明显好理解得多,把强度量和速度绑一块考虑,进来就是多,出去就是少。我更喜欢这个形式。


P.S.	1. 随体导数公式应该是舍掉了高阶项?

	2. 有什么错的地方或者建议,望不吝赐教。

	3. 酒精真是个好东西。

2017.10.26

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